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python - 香农熵的导数是什么？

问题描述

我有以下简单的 python 函数，它根据香农的信息理论计算单个输入 X 的熵：

import numpy as np

def entropy(X:'numpy array'):
  _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
  probabilities  = frequencies/X.shape[0]
  return -np.sum(probabilities*np.log2(probabilities))

a = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 2.])
b = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 3.])
c = np.array([1., 1., 1., 1., 1., 1.])

print(f"entropy(a): {entropy(a)}")
print(f"entropy(b): {entropy(b)}")
print(f"entropy(c): {entropy(c)}")

输出如下：

entropy(a): 1.4591479170272446
entropy(b): 1.0
entropy(c): -0.0

但是，我还需要计算导数dx：

d熵/dx

这不是一件容易的事，因为主要公式

-np.sum（概率*np.log2（概率））

接受probabilities，而不是x值，因此不清楚如何区分dx。

有谁知道如何做到这一点？

标签： pythonnumpydata-sciencederivativeentropy

解决方案

解决这个问题的一种方法是使用有限差分来数值计算导数。

在这种情况下，我们可以定义一个小常数来帮助我们计算数值导数。此函数采用单参数函数并计算其对 input 的导数x：

ε = 1e-12
def derivative(f, x):
    return (f(x + ε) - f(x)) / ε

为了使我们的工作更容易，让我们定义一个计算熵的最内层运算的函数：

def inner(x):
    return x * np.log2(x)

回想一下，和的导数是导数的和。因此，真正的导数计算发生在inner我们刚刚定义的函数中。

因此，熵的数值导数为：

def numerical_dentropy(X):
    _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
    probabilities = frequencies / X.shape[0]
    return -np.sum([derivative(inner, p) for p in probabilities])

我们能做得更好吗？我们当然可以！这里的关键见解是产品规则：(f g)' = fg' + gf'、 wheref=x和g=np.log2(x)。（另请注意d[log_a(x)]/dx = 1/(x ln(a))。）

因此，分析熵可以计算为：

import math
def dentropy(X):
    _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
    probabilities = frequencies / X.shape[0]
    return -np.sum([(1/math.log(2, math.e) + np.log2(p)) for p in probabilities])

使用样本向量进行测试，我们有：

a = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 2.])
b = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 3.])
c = np.array([1., 1., 1., 1., 1., 1.])

print(f"numerical d[entropy(a)]: {numerical_dentropy(a)}")
print(f"numerical d[entropy(b)]: {numerical_dentropy(b)}")
print(f"numerical d[entropy(c)]: {numerical_dentropy(c)}")

print(f"analytical d[entropy(a)]: {dentropy(a)}")
print(f"analytical d[entropy(b)]: {dentropy(b)}")
print(f"analytical d[entropy(c)]: {dentropy(c)}")

执行时，它给了我们：

numerical d[entropy(a)]: 0.8417710972707937
numerical d[entropy(b)]: -0.8854028621385623
numerical d[entropy(c)]: -1.4428232973189605
analytical d[entropy(a)]: 0.8418398787754222
analytical d[entropy(b)]: -0.8853900817779268
analytical d[entropy(c)]: -1.4426950408889634

作为奖励，我们可以使用自动微分库测试这是否正确：

import torch

a, b, c = torch.from_numpy(a), torch.from_numpy(b), torch.from_numpy(c)

def torch_entropy(X):
    _, frequencies = torch.unique(X, return_counts=True)
    frequencies = frequencies.type(torch.float32)
    probabilities = frequencies / X.shape[0]
    probabilities.requires_grad_(True)
    return -(probabilities * torch.log2(probabilities)).sum(), probabilities

for v in a, b, c:
    h, p = torch_entropy(v)
    print(f'torch entropy: {h}')
    h.backward()
    print(f'torch derivative: {p.grad.sum()}')

这给了我们：

torch entropy: 1.4591479301452637
torch derivative: 0.8418397903442383
torch entropy: 1.0
torch derivative: -0.885390043258667
torch entropy: -0.0
torch derivative: -1.4426950216293335

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