filtering - 卡尔曼滤波器中的协方差矩阵 (P) 如何根据测量值和状态估计更新？

Question

我正在用 C++ 实现基于卡尔曼滤波器的 AHRS。过滤器的方程式对我来说有些奇怪。

我找不到实际更新 P（协方差）矩阵以表示预测不确定性的部分。在“预测”步骤中，P 估计值是根据其先前的值 A 和 Q 计算的。据我所知，A（系统矩阵）和 Q（噪声协方差）是恒定的。然后在“正确”期间，根据 K、H 和预测 P 计算 P。H（观察矩阵）是常数，因此影响 P 的唯一变量是 K（卡尔曼增益）。但是 K 是根据预测的 P、H 和 R（观察噪声）计算得出的，它们要么是常数，要么是 P 本身。那么使 P 与 x 相关的方程部分在哪里呢？对我来说，似乎 P 在这里递归循环仅取决于 P 的常量和初始值。这没有任何意义。我错过了什么？

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Answer 1

你没有错过任何东西。

令人惊讶的是，线性卡尔曼滤波器中的状态误差协方差矩阵 (P) 确实不依赖于数据 (z)。减少意外的一种方法是注意协方差的含义：考虑到您使用的模型（实际上是 A、Q 和 H、R）是准确的，您应该处于估计状态的不确定性。这并不是说：这是不确定性。通过明智地调整 Q 和 R，您可以任意更改 P。特别是，您不应将 P 解释为“质量”数字，而应查看观察残差。例如，您可以通过减小 R 来使 P 更小。但是，与计算出的 sd 相比，残差会更大。

当观察以恒定的速率进入时，并且始终是相同的一组观察，P 将趋于稳定状态，原则上可以提前计算。

然而，当您在每次观察之间有不同的时间和不同的观察集时，应用卡尔曼滤波器没有困难，例如，如果您有具有不同采样周期的各种传感器系统。在这种情况下，您将看到 P 的更多变化，尽管原则上这可以提前计算。

此外，卡尔曼滤波器可以扩展（以各种方式，例如扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器）以处理非线性动力学和非线性观察。在这种情况下，因为转移矩阵 (A) 和观察模型矩阵 (H) 具有状态依赖性，所以 P 也是如此。