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haskell - Haskell 如何执行 Beta 转换以派生类型？

问题描述

我正在通过参加fp 课程练习来学习 Haskell。有一个问题挡住了我的去路。我不知道 Haskell 是如何推断lift2 (<$>) (,)的类型，结果如何Functor k => (a1 -> k a2) -> a1 -> k (a1, a2)。

我试过lift2 (<$>)'s type，并通过 GHCI's command 验证:t lift2 (<$>)。步骤如下。
我知道lift2 :: Applicative k => (a -> b -> c) -> k a -> k b -> k c
我也知道(<$>) :: Functor f => (m -> n) -> (f m) -> (f n)
然后通过 lambda 演算的 Beta 转换，我可以找出lift2 (<$>)的类型是
(Applicative k, Functor f) => k (m -> n) -> k (f m) -> k (f n)通过替换awith (m -> n), bwith (f m), cwith(f n)

当我要弄清楚lift2 (<$>) (,)的类型时，它阻止了我。
我知道(,) :: a -> b -> (a,b)
和lift2 (<$>) :: (Applicative k, Functor f) => k (m -> n) -> k (f m) -> k (f n)。
Haskell 是如何应用lift2 (<$>)的(,)？
的第一个变量lift2 (<$>)是Applicative k => k (m -> n)。
要应用的值是, ,(,) :: a -> b -> (a, b)
如何替换为, ?kmnab

GHCI 的答案是lift2 (<$>) (,) :: Functor k => (a1 -> k a2) -> a1 -> k (a1, a2)输入:t lift2 (<$>) (,). 我无法自己推断出这个答案。

所以我有2个问题。
1.有人可以一步一步地告诉我推论吗？
2.在这种情况下，转换似乎不是 lambda 演算中的 Beta 转换（可能是我错了）。转换是什么？

标签： haskelltype-inferencelambda-calculusapplicativehindley-milner

解决方案

类型推导是机械的事情。(*)关键是这里的函数箭头->实际上是一个二元 运算符，在右边关联（而应用程序/并列在左边关联）。

因而A -> B -> C是实A -> (B -> C)是实(->) A ((->) B C)是实((->) A) (((->) B) C)。在这种形式中，很明显它由两部分组成，因此可以与例如 匹配f t，注意等价f ~ ((->) A)和t ~ (((->) B) C)（或在伪代码f ~ (A ->)中，以及t ~ (B -> C)在正常表示法中）。

当“应用”两个类型术语时，执行结构统一。两个术语的结构匹配，它们的子部分匹配，并且生成的等价被标记为“替换” ... ~ ...（因此被发现，该类型将被拒绝）。

这遵循植根于 Modus Ponens 逻辑规则的一般结构/类型推导规则：

      A -> B     C
     --------------
           B         , where   A ~ C

因此，

liftA2 :: A f =>       (   a     -> b   -> c  ) -> f      a         -> f b -> f c
       (<$>) :: F h =>  (d -> e) -> h d -> h e
             (,) ::                                s -> (t -> (s, t))
---------------------------------------------------------------------------------
liftA2 (<$>) (,) ::                                                    f b -> f c
---------------------------------------------------------------------------------
                                  b ~ h d         f ~ (s->)
                        a ~ d->e         c ~ h e        a ~ t->(s,t)
                           \_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a ~ d->e
                       ----------------------------------------------------
                                                          d ~ t   e ~ (s,t)

liftA2 (<$>) (,) ::         f     b    -> f     c       
                  ~         (s -> b  ) -> (s -> c      )
                  ~  F h => (s -> h d) -> (s -> h e    )
                  ~  F h => (s -> h t) -> (s -> h (s,t))

（写作AforApplicative和Ffor Functor，作为缩写）。当没有更多类型变量可以替换时，替换停止。

对于在每一步中选择替换哪些类型变量有一定的自由度，但是无论如何，结果术语将等同于 一致地重命名类型变量。例如我们可以选择

                  ~  F h => (s -> h d) -> (s -> h e    )
                  ~  F h => (s -> h d) -> (s -> h (s,t))
                  ~  F h => (s -> h d) -> (s -> h (s,d))

在这个Applicative ((->) s)过程中发现了约束。它检查，因为这个实例存在于所有s. 我们可以通过:i Applicative在 GHCi 中的提示符下键入来查看它。查看它打印的实例列表，我们发现instance Applicative ((->) a) -- Defined in `Control.Applicative'.

如果没有这样的实例，类型派生将停止并报告错误，它不会只是跳过它。但是由于约束成立，它就消失了，因为它不约束派生类型，Functor h => (s -> h t) -> (s -> h (s,t)). 它已经“烤熟”了。

实例定义(f <*> g) x = f x $ g x但定义本身在类型派生中不需要，只需要它存在的事实。至于liftA2，则定义为

liftA2 h f g x = (h <$> f <*> g) x   -- for any Applicative (sans the `x`)
               = (h  .  f <*> g) x   -- for functions
               = (h . f) x (g x)
               = f x `h` g x         -- just another combinator

（是的，(<*>) = liftA2 ($)），所以

liftA2 (<$>) (,) g s = (,) s <$> g s
                     = do { r <- g s       -- in pseudocode, with
                          ; return (s, r)  --  "Functorial" Do
                          }

或者换句话说，liftA2 (<$>) (,) = \ g s -> (s ,) <$> g s。

与类型Functor m => (s -> m t) -> s -> m (s,t)。这是我们得出的。

(*)另请参阅：

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