$\bf命题：$设$f(x)$在$[a,b]$上单调递增，且$a \le f\left( a \right),f\left( b \right) < b$，则存在$c \in \left( {a,b} \right)$，使得$f(c)=c$
$\bf命题：$
附录
$\bf确界原理的本质特征$
设数集$E$具有性质$P$，如果$SupE=\beta $，由确界的定义知，
对任给$\varepsilon > 0$，存在${x_0} \in E$，使得$\beta - \varepsilon < {x_0} \le \beta $，这样就可以把$E$所具有的性质$P$收缩到$\beta $的$\varepsilon $邻域内
$\bf确界原理应用的一般步骤$
Step 1 为了证明在全区间$[a,b]$上具有性质$P$，构造数集$E = \left\{ {x \in \left[ {a,b} \right]\left| {\left[ {a,x} \right]具有性质P} \right.} \right\}$
Step 2 证明$b$是$E$的上确界，且$b \in E$
$\bf闭区间套定理的本质特征$
如果所有的闭区间$\left[ {{a_n},{b_n}} \right]$都具有某种共同的性质$P$，则因为在${x_0}$的任意邻域$U\left( {{x_0},\delta } \right)$中
都含有闭区间$\left[ {{a_k},{b_k}} \right]$，所以这个性质$P$可以收缩到点${x_0}$的局部去，或者说可以把全区间$[a,b]$上的一种整体性质$P$收缩到一点${x_0}$的局部去
$\bf采用二分法构造闭区间套的步骤$
Step 1 先考虑一个区间$\left[ {{a_1},{b_1}} \right]$，使它具有某种性质$P$
Step 2 然后将$\left[ {{a_1},{b_1}} \right]$二等分，证明至少一个子区间里具有性质$P$，记这个子区间为$\left[ {{a_2},{b_2}} \right]$
Step 3 不断重复这一步骤，于是得到一个闭区间套$\left\{ {\left[ {{a_n},{b_n}} \right]} \right\}$满足条件：
$(1)$$\left[ {{a_n},{b_n}} \right] \supset \left[ {{a_{n + 1}},{b_{n + 1}}} \right],n = 1,2, \cdots $
$(2)$$\lim \limits_{n \to \infty } \left( {{b_n} - {a_n}} \right) = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{{b_1} - {a_1}}}{{{2^{n - 1}}}} = 0$
$(3)$每个区间$\left[ {{a_n},{b_n}} \right]$都具有性质$P$
$\bf有限覆盖定理的本质特征$
使用有限覆盖定理时，可以把$[a,b]$上每一点邻域所具有的局部性质$P$延拓到全区间$[a,b]$上
$\bf有限覆盖定理的构造方法$
Step 1 证明对于$[a,b]$上每一点，都有一个邻域${O_\delta }\left( x \right)$，且此邻域具有性质$P$
Step 2 由于这样的邻域构成闭区间$[a,b]$上的一个开覆盖，
则由有限覆盖定理，可以从中选取有限个${O_{{\delta _1}}}\left( {{x_1}} \right),{O_{{\delta _2}}}\left( {{x_2}} \right), \cdots ,{O_{{\delta _k}}}\left( {{x_k}} \right)$来覆盖$[a,b]$
Step 3 利用${O_{{\delta _i}}}\left( {{x_i}} \right)\left( {i = 1,2, \cdots ,k} \right)$具有性质$P$，证明闭区间$[a,b]$也具有性质$P$